Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 10

[geo]

Aşağıdaki sayılardan hangisi $n^{2225}-n^{2005}$ sayısını $n$ nin bütün tam sayı değerleri için bölmez?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $n\equiv 0\pmod{p}$ ise ifade kesin olarak $p$ ile bölünecektir. Dolayısıyla $(n,p)=1$ olarak incelememiz yeterlidir. Bu koşul altında küçük Fermat teoreminden $n^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$'dir.

$p=3$ ise $$n^{2225}-n^{2005}\equiv n\cdot (n^2)^{1112}-n\cdot (n^2)^{1002}\equiv 0\pmod{3}$$

$p=5$ ise $$n^{2225}-n^{2005}\equiv n\cdot (n^4)^{556}-n\cdot (n^4)^{501}\equiv 0\pmod{5}$$

$p=11$ ise $$n^{2225}-n^{2005}\equiv n^5\cdot (n^{10})^{222}-n^5\cdot (n^{10})^{200}\equiv 0\pmod{11}$$

$p=23 $ ise $$n^{2225}-n^{2005}\equiv n^3\cdot (n^{22})^{101}-n^3\cdot (n^{22})^{91}\equiv 0\pmod{23}$$

Bu bulduklarımızla cevabın $7$ olduğu ortaya çıkar ama aksi örnek bulalım. $$n^{2225}-n^{2005}\equiv n^5\cdot (n^{6})^{370}-n\cdot (n^{6})^{334}\equiv n^5-n\pmod{7}$$ olacaktır ama $2^5-2\equiv 30\equiv 2\pmod{7}$ olduğundan bu ifade $n=2$ için $7$ ile bölünemez.