Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 35  (Okunma sayısı 1953 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 35
« : Mayıs 08, 2014, 11:45:05 ös »
Bir çember üzerine, her biri saat yönünde kendisinden sonra gelen iki sayının farkının mutlak değerine eşit ve hepsinin toplamı $94$ olacak biçimde $n$ tane tam sayı yerleştirilmesini olanaklı kılan en büyük $n$ sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 188
\qquad\textbf{b)}\ 186
\qquad\textbf{c)}\ 141
\qquad\textbf{d)}\ 100
\qquad\textbf{e)}\ 47
$

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 35
« Yanıtla #1 : Şubat 03, 2015, 12:09:50 öö »
Yanıt: $\boxed{C}$

Çember üzerine yerleştirilen tamsayıların negatif olamayacağı açıktır. Bu sayıları $a_1,a_2,\dots, a_n \geq 0$ ile gösterelim. Ayrıca $a_1+a_2+\cdots + a_n = 94$ veriliyor. $n$ nin en büyük değerini alabilmesi için bazı $i$ ler için $a_i=0$ olmalıdır. Aksi halde her $i$ için $a_i\geq 1$ olursa $n \leq 94$ olurdu. Biz bazı $i$ ler için $a_i=0$ ise $n$ nin $94$ ten daha büyük olabileceğini göstereceğiz. Elbette böyle bir durumda ardışık iki tamsayı $a_i=a_{i+1}=0$ değerini alamaz. Aksi takdirde $a_{i+2}=0$ olup tüm sayıların $0$ olduğu çelişkisi ortaya çıkar. Tüm bunları göz önüne alarak $a_1=0$ diyelim. Bu durumda $a_2=a_3=c$ dir. $c=1$ seçerek $n$ nin daha büyük değerler almasını mümkün kılabiliriz. $a_4=0$ olup $a_5=a_6=1$ dir. (Aslında $a_4=2c$ olabilir gibi görünmekte, ancak bu seçim $n$ nin küçülmesine sebep olur.) Bu şekilde $k=3m+1$ formundaki $k$ pozitif tamsayıları için $a_k=0$; $k=3m+2$ ve $k=3m$ formundaki $k$ tamsayıları için $a_k=1$ dir. ($m=1,2,\dots , n/3$.) Son olarak $a_1+a_2+\cdots + a_n = 94$ olduğundan $(2m)\cdot 1=94$, buradan $m=47$ ve $n_{\max}=3m=141$ elde edilir.

Bu problemle aynı gibi görünen, ancak ispat tekniği açısından biraz daha zor versiyonu (en büyük değer ilkesi kullanılarak) 2007 yılında sorulmuştur. http://geomania.org/forum/2007-164/tubitak-lise-1-asama-2007-soru-28/ bağlantısını incelemenizi tavsiye ederiz.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:26:32 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal