Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 30

[geo]

$p^2 + 23$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $14$ olacak şekilde kaç $p$ asal sayısı bulunur?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{B}$

$p^2+23=a_{1}^{p_{1}}.a_{2}^{p_{2}}$ olsun . $14$ ün çarpanları $1,7,14,2$ olduğundan ,

$p^2+23=a_{1}^6.a_{2}$ veya $p^2+23=a_{1}^{13}$ olabilir.$p=2$ için denenirse, sağlanmadığı görülür.

$p=3$ için de sağlanmaz,

$a_{n}\ge 3$ için denenirse, $p=13$ bulunur.

$p>13$ için Sol tarafın P.B sayısı $6$. Kuvvet  çarpımı olarak yazılamayacağı  için çözüm olamaz.

[Arman]

$p>3$ kabul edelim o zaman $p^2\equiv1$(mod 3) ve (mod 4) olacağından ifademiz $3$ ve $4$'e bölünür.

 O zaman $p^2+23=2^6.3$ olmalıdır.

Buradan $p^2+23=192$ ve $p=13$ çözümü gelir.

$p<4$ olan sayıları da denediğimizde çözüm gelmez.Tek çözüm vardır.