Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 28  (Okunma sayısı 1874 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 28
« : Mayıs 08, 2014, 11:37:31 ös »
$x$, $y$ gerçel sayıları $4x^2+9y^2 = 8$ eşitliğini sağlıyorsa, $8x^2+9xy+18y^2+ 2x + 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 29
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 35
$

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 28
« Yanıtla #1 : Ağustos 28, 2014, 11:08:07 öö »
$8x^2 + 9xy + 18y^2 + 2x + 3y = 16 + 2x + 3y + 9xy$

O halde $2x + 3y + 9xy$ ifadesinin en büyük değerini bulmalıyız.

Cauchy - Schwarz Eşitsizliği:

$(4x^2+9y^2)(1+1)\ge(2x + 3y)^2 \Longrightarrow 4\ge2x + 3y$

Öte yandan,
$(2x - 3y)^2\ge0 \Longrightarrow 8 \ge 12xy \Longrightarrow 6\ge9xy$

O halde,
$8x^2 + 9xy + 18y^2 + 2x + 3y = 16 + (2x + 3y) + 9xy \le 16 + 4 + 6 = 26$ bulunur.

Eşitlik durumu $4x^2+9y^2$ ve $2x - 3y=0$ eşitlikleri sağlandığında, yani $2x = 3y$ olduğunda sağlanır. Verilen eşitlikten $x=1$ ve $y=\dfrac{2}{3}$ olması gerektiği bulunabiliir.
« Son Düzenleme: Ağustos 28, 2014, 05:16:47 ös Gönderen: geo »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal