Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 23

[geo]

Sonsuz bir satranç tahtasında $25$ kare nasıl seçilirse seçilsin ortak köşesi olmayan $n$ tanesi bulunabiliyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Öncelikle $n\leq 7$ olduğunu gösterelim. Eğer $25$ kareyi $4\times 6$'lık bir dikdörtgen ve bunların dışında kalan bir dikdörtgen olarak seçersek ardışık iki sütunda ikiden fazla kareyi seçemeyeceğimiz görülebilir çünkü bir sütunda ikiden fazla kare seçersek yanındaki sütundan kare seçemeyiz. Eğer bir tane seçersek yan sütundan da $1$'den fazla seçemeyiz. Dolayısıyla her ardışık sütun çiftinden en fazla $2$ tane kare seçerek toplamda $6$ kare seçilebilir ($1-2$ sütun çiftinden $2$ tane, $3-4$'den $2$ tane $5-6$'dan $2$ tane). Dışardaki kareyi de seçersek bu şekilden en fazla $7$ kare seçebildiğimizi görebiliriz. Cevap $7$'dir.

Şıklardaki en küçük sayı $7$ olduğundan test mantığıyla her zaman $7$ kare seçebildiğimizi göstermemize gerek yoktur ama bunun ispatı da eklenebilir.

[Lokman Gökçe]

Problem, boyama yöntemi ve güvercin yuvası prensibi beraber kullanılarak çözülebilir.

yanıt: $\boxed{A}$

Önce $4$ renk kullanarak sonsuz satranç tahtasını aşağıdaki desende boyayalım.



Aynı renkle boyanmış olan karelerin ortak köşesi olmadığına dikkat edelim. Şimdi bize verilen $25$ karenin her biri bu $4$ renkten birinde bulunacağı için, güvercin yuvası prensibine göre aynı renge sahip en az $\left\lfloor \dfrac{25}{4} \right\rfloor + 1 = 7$ kare bulunur. Yani daima, ortak köşesi olmayan $n=7$ kare seçebiliriz. $25$ kareden, ortak köşesi olmayan $8$ kare seçemeyeceğimiz bir düzenleme örneği de vardır. Aşağıdaki çizimde böyle $25$ kare verilmiştir. Bu yüzden $n<8$ olup $n_{\max} = 7$ dir.