Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 20

[geo]

Tüm $x$ gerçel sayıları için $x^2 \geq C \lfloor x \rfloor (x - \lfloor x \rfloor)$ eşitsizliğinin doğru olmasını sağlayan en büyük $C$ gerçel sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

[ArtOfMathSolving]

(Mustafa Töngemen)

$a)$ $x$ tamsayı ise $x^2\ge C(x-x) \Rightarrow x^2\ge 0$ olduğundan eşitsizlik tüm tamsayılar için geçerlidir.

$b)$ $x$ tamsayı değilse, $a$ tamsayı olmak üzere, $a\le x<a+1$, $[ x ]=a$ dır.

$x^2\ge C(x-a)\Rightarrow x^2-Cx+Ca\ge 0$ olur, her gerçel sayı için sağlanması $\triangle \le 0$ plmasıyla mümkündür.

$\triangle=a^2C^2-4a^2C\le 0 \Rightarrow C(C-4)\le 0 \Rightarrow 0\le C\le 4$ olur ve $C$ nin en büyük değeri $4$ bulunur.

[Arman]

$x=m+t$ dersek $0\le t<1$ olmak üzere

$(m+t)^2\ge C.m.t \Longrightarrow m^2+t^2\ge(C-2)m.t$

$C=4$ için ifade doğrudur eşitlik durumu ancak $m$'yi $t$'ye çok yaklaştırdığımızda gerçekleşir.

Örnek durum $x=1,999999999999998$