Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

Birim kenarlı bir eşkenar üçgenle başlanarak her kenarın orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Sonra, elde edilen çokgenin her kenarının orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Böylece bu işlem sonsuz kez tekrarlandığında elde edilen şeklin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2\sqrt{3}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{8}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{4\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüme geçmeden önce sorunun ifadesinin hatalı olduğunu belirtelim. İlk adımda çıkarılan alanlar sarı ile, ikinci adımda çıkarılan alanlar mavi ile renklendirilmiştir. Bundan sonra aralarda oluşan altıgenlerin kenarlarına eşkenar üçgen çizme işlemi tatbik edilmemiş, yalnızca oluşan eşkenar dörtgenlerin kenarlarına eşkenar üçgenler çizilmiştir. Bu yolla $\dfrac{\sqrt3}{10} $ sonucuna ulaşılabilir.

Şimdi çözüme geçelim:

Kenar uzunluğu $1$ olan eşkenar üçgenin alanı $S=\dfrac{\sqrt3}{4}$  olur. İlk adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3}{9}S$, ikinci adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3\cdot 4}{9^2}S$, üçüncü adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3\cdot 4^2}{9^3}S$, … olur. Çıkarılan alanların toplamı $\dfrac{1}{3}S \left[  1+ \dfrac{ 4}{9} + \dfrac{ 4^2}{9^2} + \dots \right] = \dfrac{1}{3}S\cdot \dfrac{1}{1-\frac49}  = \dfrac{2S}{5}$ olur. Geriye kalan alan ise$ S - \dfrac{2S}{5}  = \dfrac{3S}{5} =\dfrac{\sqrt3}{10} $ bulunur.