Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 23  (Okunma sayısı 1887 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 23
« : Mayıs 07, 2014, 03:35:46 ös »
Birim kenarlı bir eşkenar üçgenle başlanarak her kenarın orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Sonra, elde edilen çokgenin her kenarının orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Böylece bu işlem sonsuz kez tekrarlandığında elde edilen şeklin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2\sqrt{3}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{8}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{4\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 23
« Yanıtla #1 : Temmuz 17, 2014, 06:45:02 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüme geçmeden önce sorunun ifadesinin hatalı olduğunu belirtelim. İlk adımda çıkarılan alanlar sarı ile, ikinci adımda çıkarılan alanlar mavi ile renklendirilmiştir. Bundan sonra aralarda oluşan altıgenlerin kenarlarına eşkenar üçgen çizme işlemi tatbik edilmemiş, yalnızca oluşan eşkenar dörtgenlerin kenarlarına eşkenar üçgenler çizilmiştir. Bu yolla $\dfrac{\sqrt3}{10} $ sonucuna ulaşılabilir.

Şimdi çözüme geçelim:


Kenar uzunluğu $1$ olan eşkenar üçgenin alanı $S=\dfrac{\sqrt3}{4}$  olur. İlk adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3}{9}S$, ikinci adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3\cdot 4}{9^2}S$, üçüncü adımda çıkarılan parçanın alanı $\dfrac{3\cdot 4^2}{9^3}S$, … olur. Çıkarılan alanların toplamı $\dfrac{1}{3}S \left[  1+ \dfrac{ 4}{9} + \dfrac{ 4^2}{9^2} + \dots \right] = \dfrac{1}{3}S\cdot \dfrac{1}{1-\frac49}  = \dfrac{2S}{5}$ olur. Geriye kalan alan ise$ S - \dfrac{2S}{5}  = \dfrac{3S}{5} =\dfrac{\sqrt3}{10} $ bulunur.
« Son Düzenleme: Temmuz 19, 2014, 09:08:47 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal