Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 11

[ERhan ERdoğan]

Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $8/19$ u, geriye kalan elemanların toplamından büyük değilse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 20
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$
$n$ farklı pozitif tam sayı $a_1,a_2, \dots , a_n$ olsun. $a_n \leq n$ dir. En büyük sayı en az $a_n=n$ olabilir. Bu durumda her $k$ için $a_k=k$ şeklide olur. Şimdi $n$ yi olabildiğince küçük seçmeliyiz. $a_1+a_2+ \cdots + a_{n-2} \geq \dfrac{8}{19}a_{n-1}a_n$ eşitsizliğini $1 + 2 +\cdots + (n-2)  \geq \dfrac{8}{19}(n-1)n$ şeklinde yazabiliriz. $\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}\geq \dfrac{8}{19}(n-1)n $  eşitsizliğinden $n \geq 13$ olarak çözülür. $n=13$ için en büyük sayının en küçük değeri $a_{13}=13$ bulunur.