Yanıt: $\boxed D$
$S(x)$ ile $x$ sayısının rakamları toplamı gösterilsin.
Sadece $1$ lerden oluşan bir sayıyı düşünelim. $S(7002n) = 999$ olacaktır.
$7002n$ yi hesaplarken sadece bir elde işlemi olacak şekilde bir $n$ sayısı seçmeye çalışalım.
$k \geq 3$ olmak üzere; $110 + k$ basamaklı $n = 2\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{111 \dots 111}_{\text{109 tane}}$ sayısının rakamları toplamı $S(n)=111$ dir.
$1000n = 2\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{111 \dots 111}_{\text{109 tane}}000$
$7000n = 14\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{777 \dots 777}_{\text{109 tane}}000$
$2n = 4\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{222 \dots 222}_{\text{109 tane}}$
$7002n = 14004\underbrace{0\dots 0}_{\text{k-3 tane}}777 \underbrace{999 \dots 999}_{\text{106 tane}}222$
$9$'a tamamlayarak sayarsak $S(7002n) = 110 \cdot 9 = 990$ olacaktır.
$2000n = 4\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{222 \dots 222}_{\text{109 tane}}000$
$3n = 6\underbrace{0\dots 0}_{\text{k tane}} \underbrace{333 \dots 333}_{\text{109 tane}}$
$2003n = 4006\underbrace{0\dots 0}_{\text{k-3 tane}}555 \underbrace{555 \dots 555}_{\text{106 tane}}333$
$5$'e tamamlayarak sayarsak $S(2003n) = 111 \cdot 5 = 555$ olacaktır.
Bu aşamada $(D)$ şıkkını işaretleyebiliriz. Çözümün sıhhati açısından devam edeceğiz.
Sonuca giden başka $n$ sayıları da bulabiliriz.
Örneğin; $n = \underbrace{111 \dots 111}_{\text{109 tane}}02$ aldığımız durumda da $7002n = 777 \underbrace{999 \dots 999}_{\text{106 tane}}36204$, $S(7002n) = 990$, $2003n = 222 \underbrace{555 \dots 555}_{\text{106 tane}}37306$ ve $S(2003n) = 555$ olacaktır.
Önemli olan $7002$ tane $n$ sayısını toplarken tam olarak $1$ kez elde oluşması.
Dikkat edilirse sadece $7000n$ yi hesaplarken $2 \times 7 = 14$ şeklinde elde oluştu. Örneğimizi verirken başka elde oluşmaması için $1$ leri ve sonrasında en az $3$ tane $0$ ı kullandık.
Bu aşamada bir lemma (iddia) ve corollary (sonuç) paylaşacağım. İspatları için
buraya başvurabilirsiniz.
İddia: $a, b$ pozitif tam sayılar ve $a+b$ toplamı hesaplanırken eldelerin sayısı $k$ olmak üzere; $S(a + b) = S(a) + S(b) - 9k$ dir.
Sonuç: $a, b$ pozitif tam sayılar ve $a \times b $ çarpımı hesaplanırken eldelerin sayısı $k$ olmak üzere; $S(a \times b) = S(a) \cdot S(b) - 9k$ dir.
$S(7002n) = S(7002) \cdot S(n) - 9k = 9 \dot 111 - 9k = 110 \Longrightarrow k = 1$ dir.
$n$ sayısının rakamları arasında birden fazla $d_i \geq 2$ sayısı varsa en az $2$ elde oluşacağı için $n$ nin ondalık yazılımında en fazla $1$ tane $2$ sayısı yer alabilir.
Tamamı $1$ ve $0$ lardan oluşan bir sayının $2000$ katı ile $3$ katı toplandığında hiç elde oluşmaz. ($1$ ve $0$ lardan oluşan bir sayının $7002$ katı hesaplanırken de hiç elde oluşmaz. Bu durumda aslında bu olasılık mümkün değil.)
Sadece $1$, $0$ ve bir tane $2$ den oluşan bir sayının $2000$ katı ile $3$ katı toplandığında da hiç elde oluşmaz. ($2$ ler birbirinin altına gelemeyeceği için $2\cdot 2 + 2 \cdot 3 = 10$ durumu önemsizdir.)
O halde $S(2003n) = S(2003) \cdot S(n) - 9 \cdot 0 = 5 \cdot 111 = 555$ elde edilir.
