Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 17

[geo]

$AD \parallel BC$ ve $|AB| = |CD|$ koşullarını sağlayan bir $ABCD$ yamuğu aynı zamanda bir teğetler dörtgenidir. İç teğet çemberinin $[CD]$ kenarına değme noktası $N$, $[AN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $K$, $[BN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $L$ olmak üzere, $\dfrac{|AN|}{|AK|} + \dfrac{|BN|}{|BL|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$ABCD$ ikizkenar yamuğunda içteğet çemberin merkezinden taban ve tavana dikmeler indirildiğinde, bu değme noktaları ve iç merkez doğrusal olacaktır. Bu doğru yamuğun simetri ekseni olacaktır.

$CN=x$ ve $DN=y$ olsun.

$B$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $BL\cdot BN = x^2 \Rightarrow \dfrac{BN}{BL} = \dfrac{BN^2}{x^2}$,

$A$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $AK\cdot AN = y^2 \Rightarrow \dfrac{AN}{AK} = \dfrac{AN^2}{y^2}$.

$\angle BCD = \alpha$ dersek, $BN^2 = 5x^2 - 4x^2\cdot \cos \alpha$ ve $AN^2 = 5y^2 + 4y^2\cdot \cos \alpha$ olur.

Bu durumda, $\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{AN}{AK} = 5 - 4\cos \alpha + 5 + 4\cos \alpha = 10$ elde edilir.

NOT:
Aynı soru bir önceki senede de sorulmuş.