Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 17

[geo]

Yüksekliklerinin orta noktaları doğrudaş olan bir üçgenin en büyük kenar uzunluğu $10$ ise, alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 30
\qquad\textbf{d)}\ 40
\qquad\textbf{e)}\ 50
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Üçgen $ABC$, en büyük kenar da $BC=10$ olsun.
$a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ kenarlarının orta noktaları, sırasıyla, $M_a$, $M_b$, $M_c$ olsun.
$a$, $b$, $c$ kenarlarına ait yüksekliklerin orta noktaları, sırasıyla, $H_a$, $H_b$, $H_c$ olsun.
$M_bM_c$, $M_aM_c$, $M_a M_b$ doğrularını çizelim.

En uzun kenara ait yükseklik, üçgenin içerisinde yer almalı. Bu durumda $H_a$, $[M_bM_c]$ doğru parçasının üzerinde olacaktır.

$\triangle ABC$ dar açılı ise, $H_b$ ve $H_c$ üçgenin içerisinde, dolayısıyla da, sırasıyla, $[M_aM_c]$ ve $[M_aMb]$ doğru parçaları üzerinde olacaktır. Bu durumda, $H_a$, $H_b$, $H_c$ dejenere olmayan bir üçgen oluşturacaktır.

$\triangle ABC$ geniş açılı ise, $H_b$ ve $H_c$ üçgenin dışında ve sırasıyla $M_aM_c$, $M_aMb$ doğrularının üçgenin dışında kalan kısmında olacaktır. $H_aH_b$ ve $M_aM_b$ doğruları her zaman üçgenin içerisinde kesişeceğinden, $H_a$, $H_b$, $H_c$ noktaları dejenere olmayan bir üçgen oluşturacaktır.

Bu durumda, son seçenek, $\triangle ABC$ nin dik üçgen olması. Bu durumda, $M_c = H_b$, $M_b = H_c$ ve $H_a \in M_bM_c$ olacaktır. $AM_a = 5$ ve $[ABC] \leq \dfrac{AM_a \cdot BC}{2} = 25$.

Not: Bu soru Hüseyin DEMİR'e ait olup "Proposal 1997, Mathematics Magazine 57, 1984" olarak yayınlanmıştır.
bkz. Matematik Dünyası, Cilt:1 Sayı: 4, 1991, Sayfa 19