Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 14

[geo]

Her terimi $2001$ den küçük ya da eşit olan $x_1, x_2, \dots , x_n$ pozitif tam sayıları dizisi, her $i\geq 3$ için, $x_i = |x_{i-1} - x_{i-2}|$ koşulunu sağlıyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1000
\qquad\textbf{b)}\ 2001
\qquad\textbf{c)}\ 3002
\qquad\textbf{d)}\ 4003
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

Yanıt: $\boxed{C}$

Herhangi ardışık iki terim aynı olamaz; çünkü bu bir terimi $0$ yapacaktır. Terim sayısının en fazla olması için değişimi en az yapmalıyız. Örneğin ; $1,2001,2000,1,1999,1998,1, \ldots$ şeklindeki dizi başka bir ifadeyle $a_1=1$ ve $a_2=2001$ seçilerek hazırlanan dizi istenen dizidir.Bu dizinin terim sayısını hesaplamalıyız. Bu dizide her $3$ terimde değer $2001$'e göre $2$ azalıyor. Daha matematiksel bir ifadeyle $a_2=2001, a_5=1999 , a_8=1997,\dots$ şeklinde olur.  Başka bir ifadeyle $a_{3k+2}=2001-2k$ olur. Burada $2001-2k=1$ buradan $k=1000$ olur . $n$'in en büyük değeri de $n=3.1000+2=3002$ olur.