Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 29

[ERhan ERdoğan]

$ABCD$ konveks dörtgeninde $[AB]$ ile $[CD]$ paralel değildir. $[AD]$ nin orta noktası $E , [BC]$ nin orta noktası $F$ dir. $|CD|=12 , |AB|=22$ ve $|EF|=x$ olduğuna göre, $x$ in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 110
\qquad\textbf{b)}\ 114
\qquad\textbf{c)}\ 118
\qquad\textbf{d)}\ 121
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $121$. $[AC]$ kösggeninin orta noktası $G$ olsun. $EG \parallel DC$ ve $FG \parallel AB$ olur. Buradan da $|EG|=6, |GF|=11$ dir. $AB$ ile $CD$ paralel olmadığı için $E, G, F$ doğrusal olamaz. Buradan da $EGF$ üçgeninde üçgen eşitsizliğinden $5<x<17$ elde ederiz. Bu aralıktaki her $x$ tam sayısı için şartları sağlayan bir dörtgen çizilebilir. $x$ in alabileceği değerler $6,7, \ldots, 16$ olup bu sayıların toplamı $121$ dir.

Kaynak: Tübitak 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2008