Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

$n\geq4$ kişilik bir partide, her $3$ kişinin tam olarak $1$ ortak arkadaşı varsa $n$ kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed A$

Kişilerimiz $a_1, a_2, \dots, a_n$ olmak üzere $a_1$ ile $a_2$ arkadaş olsun.

$a_1-a_2-a_k$ üçlüsünde hiçbir $a_k$, $a_1$ ile arkadaş değildir. $k=3$ için bakalım.

$a_1-a_3-a_l$ üçlüsünde $l\not=2$ olmak üzere $a_1$ ile hiçbir $a_l$ arkadaş değildir. O zaman $a_3$ ile her $a_l$ arkadaştır. ($a_3$, $a_1$ ve $a_2$ dışındaki kişiler ile arkadaştır.)$l=4$ için bakalım.

Elimizde $a_1,a_2,a_3,a_4$ kişileri var.

Eğer $a_3-a_4-a_m$ üçlüsüne bakacak olursak $a_3$ ile $a_4$ arkadaş olduğu için $a_m$ ile $a_3$ arkadaş değildir.
$a_3$ ile arkadaş olmayan sadece $a_1$ ve $a_2$ olduğu için $a_m$ bunlardan biridir.

En fazla 4 kişi olacağını görürüz.

Koşulumuza olan $n\geq4$'a uyarsak $n$ sadece $4$'tür.