Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 35  (Okunma sayısı 1985 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 35
« : Nisan 26, 2014, 06:29:40 ös »
$S=\{1,2,\dots, 32\}$ olmak üzere; $S$ nin hangi $k$ elemanlı $A$ altkümesini alırsak alalım, $A$ kümesinde, $a,b$ yi; $b$ de $c$ yi bölecek şekilde farklı $a,b,c$ sayılarının bulunmasını sağlayan en küçük $k$ değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 29
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 35
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 09:42:27 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

Farklı $a,b$ sayıları için $a|b$ demek, $b\geq 2a$ demektir. Bu durumda,
farklı $b|c$ sayıları için de $b|c$ ise, $c \geq 2b \geq 4a$ olacaktır.
Açık bir şekilde $S_{24}\{9,10,11,\dots, 30,31,32\}$ kümesinden $a|b|c$ şeklinde üç sayı seçmek mümkün değil. Bu durumda $k>24$ olmalı.
Acaba bu şekilde üç eleman içermeyen daha büyük bir küme var mı? Olduğunu varsayalım.
$1$, bu kümenin bir elemanı olabilir mi? $1$ içeriliyorsa, $n$ ile $2n$ sayılarından biri bu kümenin dışında olmalı. $$\{2,4\}, \{3,6\}, \{5,10\}, \{7,14\}, \{8,16\}, \{9,18\}, \{11,22\}, \{12,24\}, \{13,26\}, \dots$$ kümelerinin her birinden en fazla bir eleman seçilebileceği için $1$ bu en büyük kümenin bir elemanı olamaz.
Bu en büyük küme, $\{2,4,8,16,32\}$ kümesinden en fazla iki eleman içerebilir. Yani en az $3$ eleman içermez.
$\{3,6,12,24\}$ kümesinden en az $2$ eleman içermez.
$\{5,10,20\}$ kümesinden en az $1$ eleman içermez.
$\{7,14,28\}$ kümesinden en az $1$ eleman içermez.
Bu durumda $a|b|c$ şeklinde üç eleman içermeyen en büyük küme, $S=\{1,2,\dots, 32\}$ kümesinden en az $1+3+2+1+1=8$ eleman içermez. Bu durumda bu kümenin eleman sayısı en fazla $32-8=24$ olabilir. Daha fazla olamaz. Demek ki bahsedilen koşulu sağlayan $S_{24}$ kümesinden daha büyük bir küme yok. Bu durumda, $S$ nin herhangi $k$ elemanlı alt kümesinde $a|b|c$ şeklinde üç eleman bulunur.
« Son Düzenleme: Haziran 12, 2016, 11:12:47 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal