Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 23

[geo]

$20$ kişilik bir komite, $A$, $B$, $C$ adayları arasından bir seçim yapmak için değişik türden bir oylamaya başvurur. Her komite üyesi, adaylara ilişkin tercih sıralmasını, herhangi iki aday arasında çekimser kalmaksızın, oy pusulasına yazar. (Örneğin, pusulaya $BAC$ yazan üye, $B$ yi $A$ ya ve $C$ ye; $A$ yı da $C$ ye tercih ediyor demektir.) Oy pusulaları açılınca, üç adayın altı değişik sıralanışından her birinin en az bir pusulada geçtiği ve tam olarak $11$ üyenin $A$ yı $B$ ye; $12$ üyenin $C$ yi $A$ ya; $14$ üyenin de $B$ yi $C$ ye tercih ettiği görülür. Kaç komite üyesinin birinci tercihi $B$ dir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$$ \begin{cases}x=(ABC),y=(BAC),z=(CAB),\\x'=(ACB),y'=(BCA),z'=(CBA).\end{cases} $$ olsun.
$$\begin{array}{rcl}x+x'+z &=& 11 \\z+z'+y' &=& 12 \\y+y'+x &=& 14 \end{array}$$ olacaktır. Taraf tarafa toplarsak,
$$x+y'+z = 17$$ elde edilir. Bu durumda $$x'+y+z' = 3$$ olacaktır. Bu da $$x'= y = z' = 1$$ olduğu anlamına gelir. Bu değerleri yerine yazarsak,
$$x+x'+z = 11 \Rightarrow x+z = 10 $$ elde ederiz. $$x+y'+z = 17 \Rightarrow y' = 7 \Rightarrow y+y' = 8$$ olur.