Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 12  (Okunma sayısı 1795 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 12
« : Nisan 26, 2014, 06:20:36 ös »
$(a_n)$ dizisi, $a_1=1$ ve her $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için $|a_n| = |a_{n-1}+2|$ koşullarını sağlıyorsa, $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -4000
\qquad\textbf{b)}\ -3000
\qquad\textbf{c)}\ -2000
\qquad\textbf{d)}\ -1000
\qquad\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 12
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 09:16:32 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

Her iki tarafın karesini alalım:
$$\begin{array}{rcl}
a_n^2 &=& a_{n-1}^2 + 4a_{n-1} + 4 \\
a_{n-1}^2 &=& a_{n-2}^2 + 4a_{n-2} + 4 \\
\vdots \\
a_{2}^2 &=& a_{1}^2 + 4a_{1} + 4 \\
\end{array}$$ olacaktır. Taraf tarafa topladığımızda,
$$a_n^2 = a_1^2 + 4\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i + 4(n-1)$$ olacaktır.
$n=2001$ ve $a_1 = 1$ için,
$$a_{2001}^2 = 1 + 4\sum\limits_{i=1}^{2000}a_i + 8000 \geq 0 \Rightarrow 4\sum\limits_{i=1}^{2000}a_i \geq -8001 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{2000}a_i \geq -2000$$ olacaktır. Peki,  $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i = -2000$ eşitliğini sağlayan bir $(a_n)$ dizisi var mıdır?
Mutlak değerli eşitliği, her seferinde
$$a_n = - a_{n-1}-2$$ şeklinde çözersek,
$$\begin{array}{rcr}a_1 &=& 1 \\ a_2 &=& -3 \\a_3 &=& 1 \\ a_4 &=& -3 \\ \vdots \\ a_{1999} &=& 1 \\ a_{2000} &=& -3 \end{array}$$ elde ederiz. Bu durumda $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i = -2000$ dir.
« Son Düzenleme: Kasım 28, 2021, 05:59:48 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal