Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 06

[geo]

$\sqrt {17p + 625}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan en büyük $p$ asal sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 67
\qquad\textbf{c)}\ 101
\qquad\textbf{d)}\ 151
\qquad\textbf{e)}\ 211
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$17p + 625 = T^2 \Rightarrow 17p = (T-25)(T+25) $

$T-25 \neq 1$ ise, $(T-25)(T+25)$ sayısının en az iki asal çarpanı olacak.
Bu durumda $T+25>17$ olduğu için, $T-25 = 17$ ve $T+25=p$ olmalı. Bu durumda, $T=42$ ve $p=67$ olacaktır.

$T-25 = 1$ ise, $T=26$ ve $17p=(T+25)=51 \Rightarrow p=3$ elde edilecektir.
Bu durumda, $17p + 625$ sayısının tam kare olmasını sağlayan en büyük asal sayı $67$ olacaktır.