Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 01  (Okunma sayısı 1915 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 01
« : Nisan 26, 2014, 06:14:51 ös »
Alanı $a$ olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi ile, alanı $b$ olan bir dik üçgenin çevrel çemberi aynı çember ise, $\dfrac ab$ en az nedir?

$
\textbf{a)}\ 3 + 2\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 1 + \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 2+\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 3
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 01
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 09:10:30 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

$a$ yı minimum, $b$ yi de maksimum yapacağız.
Bir çemberi içine çizilebilecek dik üçgenlerin en büyük alanlısı ($b$), ikizkenar dik üçgendir. Dik üçgenin hipotenüsü çemberin çapı olacağı için tüm dik üçgenlerin hipotenüsleri aynıdır. Alanı en çok yapmak için hipotenüse ait yüksekliği en çok yapmak gerekiyor. Hipotenüse ait yükseklik en fazla bir yarıçap kadar olabilir. Bu durumda çemberin yarıçapına $r$ dersek, $b=r^2$ olacaktır.
Alanı $a$ olan dik üçgenin, iç teğet çemberinin yarıçapını $r$ olarak tanımlamıştık. Bu durumda $u$ yarıçevreyi göstermek üzere; $a = ur$ olacaktır.
$\dfrac ab = \dfrac{ur}{r^2} = \dfrac ur$ değerini küçültmeye çalışacağız.
Üçgenin kenarlarına da $a,b,c$ diyeceğimiz için soruda $a=A$ ve $b=B$ değişikliğini yapalım.
Bu durumda bizden
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac{u}{r}=\dfrac{u}{u-a}=\dfrac{1}{1-\dfrac au}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2a}{a+b+c}} $$
ifadesini minimize etmemiz isteniyor.
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{a}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{b^{2}+c^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}}} $$ olacağından $\dfrac AB$ yi en büyük yapmak için, son ifadedeki paydayı, yani
$$ 1-\dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}} $$ ifadesini en büyük yapmak gerekir. Bunun için de, paydadaki çıkan durumundaki $$ \dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}} $$ ifadesi en küçük değerini almalı. Bu ifadenin en küçük değerini alması için paydanın, yani $$ 1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}} $$ ifadesinin en büyük değerini, yani $$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} $$ ifadesinin en büyük değerini alması gerekir. $AO \geq GO$ olduğu için $$b^2+c^2 \geq 2bc \Rightarrow 1 \geq \dfrac {2bc}{b^2+c^2}$$ olacağından $$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} $$ ifadesi en fazla $1$ olabilir. Eşitlik ise $b=c$, yani üçgen ikizkenar olduğunda mümkündür. Bu durumda $r$ yarıçaplı çemberi iç teğet çemberi kabul eden en küçük alanlı dik üçgen, ikizkenar dik üçgendir.
$$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} = 1$$ değerini yerine yazarsak,
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac1{1-\dfrac2{1+\sqrt 2}}=\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 2-1}= (\sqrt 2+1)^{2}= 3+2\sqrt 2 $$ elde ederiz.
« Son Düzenleme: Haziran 12, 2016, 10:56:21 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal