Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 34

[geo]

Kaç $p$ asal sayısı için, $x^3-x+2\equiv (x-r)^2(x-s) \pmod p$ denkliğinin tüm $x$ tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan $r, s$ tam sayıları bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$$x^3 - x + 2 \equiv (x-r)^2(x-s) \pmod p$$
$$f(r) = r^3 - r + 2 \equiv 0 \pmod p ..*$$
$$f'(x) = 2(x-r)(x-s) + (x-r)^2 \Rightarrow f'(r)=3r^2 - 1\equiv 0 \pmod p ..**$$
$p=3$ için $$-1 \not\equiv 0 \pmod 3$$ olacağı için $p \neq 3$ tür.
Bu durumda denkliği $3$ ile genişletmek sorun çıkarmaz.
$$3f(r) \equiv 0 \pmod p \Rightarrow 3r^3 - 3r + 6 \equiv (3r^2-1)r - 2r + 6 \equiv 0 \pmod p$$
Daha önce elde ettiğimiz $f'(r)=3r^2 - 1\equiv 0 \pmod p$ özdeşliğini kullanarak,
$$-2r+6 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow r \equiv 3 \pmod p \text{ veya } p=2$$
elde edilir. $r\equiv 3 \pmod p$ ise
$$f'(r)=3r^2-1\equiv 0 \pmod p \Rightarrow 26 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow p=2 \text { veya } p=13$$
elde edilir. Sonuçta, $(p,r)=(13,3)$ veya $(p, r)=(2,3)\equiv (2,1) \pmod p$ elde edilir. Vieta formülüne göre, köklerin toplamları $0$ olacağı için $$r+r+s = 0 \Rightarrow s = -2r$$, buradan da $(p,r,s)=(13,3,7)$ ve $(p,r,s)=(2,1,0)$ çözümleri elde edilir.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(B)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.

[Squidward]

$x^3 - x + 2 \equiv (x-r)^2(x-s) \equiv x^3 - x^2(s+2r) + x(r^2+2rs) - r^2s \pmod p$

$s+2r \equiv 0 \pmod p$
$r^2+2rs \equiv -1 \pmod p$
$r^2s \equiv -2 \pmod p$

İlk denklemden $s$ çekilip $3.$ ve $2.$ denklemlerde yazılırsa,

$r^3 \equiv 1 \pmod p$

$3r^2 \equiv 1 \pmod p$

Taraf tarafa çıkartılırsa,

$r^3-3r^2 \equiv r^2(r-3) \equiv 0 \pmod p$

$r \equiv 0  \Rightarrow s \equiv 0$

verilen eşitlikte yazılırsa

$x^3-x+2 \equiv x^3 \pmod p$

Absürt.

$r \equiv 3 \Rightarrow 27 \equiv 1 \pmod p \iff 26 \equiv 0 \pmod p$

bunu da $p = 2$ ve $p = 13$ sağlayabilir, denklemlerde yerine yazılırsa çözümlerin $(p,r,s)=(13,3,7)$ ve $(p,r,s)=(2,1,0)$ olduğu görülür.