Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 27  (Okunma sayısı 1765 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 27
« : Nisan 26, 2014, 05:49:22 ös »
Kenar uzunluğu $c$ olan bir karenin noktaları kırmızı ya da maviye boyanıyor. Bu boyama nasıl yapılırsa yapılsın, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkte iki nokta bulunuyorsa, $c$ nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {\sqrt {10}}2
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 5
\qquad\textbf{d)}\ 2 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 27
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 09:02:58 ös »
Öncelikle şunu ifade edelim. Karenin iç bölgesindeki noktaları boyamıyoruz. Karenin kenarları üzerindeki noktaları boyuyoruz.
$ABCD$ karesinde $AB$ nin orta noktası $E$, $CD$ nin orta noktası $F$ olsun. $EF$ üzerinden kareyi ikiye bölelim. Bir tarafını tamamen kırmızıya, diğer tarafını tamamen maviye boyayalım.
$c < 2$ ise yukarıda anlatıldığı gibi bir boyamada, aynı renkte iki noktanın arasındaki uzaklık en fazla $\triangle ADF$ üçgenindeki $A, F$ noktaları arasındaki uzaklık kadardır. $AD=c$ ve $DF=\dfrac c2$ olduğu için Pisagordan $$AF^2 = AD^2 + DF^2 = c^2 + \dfrac {c^2}4 = \dfrac {5c^2} 4 \Rightarrow AF = \dfrac {c\sqrt 5}2$$ olur.
$c < 2 $ olduğu için $$AF = \dfrac {c\sqrt 5}2 < \dfrac {2\sqrt 5}2  < \sqrt 5$$ olacağı için, $c<2$ olan bir karede aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ olan aynı renk iki nokta bulunamayabilir. Demek ki, $c \geq 2$ olmalı. $c=2$ olan karede boyamalar nasıl yapılırsa yapılsın, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkte iki nokta bulunuyorsa aradığımız yanıt $c=5$. Bulunmuyorsa, bu durumda $c > 2$ olacak şekilde başka arayışlara gireceğiz.
$c=2$ olan bir kare ele alalım. Aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ ten küçük olacak şekilde boyama yapmaya çalışacağız. Bunu başarırsak, aradığımız yanıt $c=2$ değil. Başaramazsak, yani ne yaparsak yapalım, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkli iki nokta oluyorsa, aradığımız yanıt $c=2$ olacak.
$A$ ile $C$ aynı renkli olamaz. Olursa $AC=2\sqrt 2 > \sqrt 5$ olduğu için, soruda istenen şekilde boyama yapmış oluruz. Hatırlatalım, elimizden geldiğince bu şekilde boyama yapmayacağız. Benzer şekilde $B$ ile $D$ de aynı renkli olamaz. O zaman bu durumda ya $B$ ile $C$, ya da $C$ ile $D$ aynı renkli. $B$ ile $C$ aynı renkli olsun. Bu durumda $A$ ile $D$ de aynı rekli olur. Genelliği bozmadan $B$ ile $C$ yi kırmızı, $A$ ile $D$ yi de mavi kabul edelim. $E$ ya kırmızı ya da mavi olacak. Mavi ise, $DE=\sqrt 5$ olacak; kırmızı ise $CE=\sqrt 5$ olacak. Yani ne yaparsak yapalım aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ olan aynı renkli iki nokta bulabiliyoruz. Bu durumda, bu şartı sağlayan karelerin en küçük kenarlısı için $c=2$ dir.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 06:16:09 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal