Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 26

[geo]

$x, y, z$ tam sayıları
$$ \begin{array}{rcl}
x - 3y + 2z &=& 1 \\
2x + y - 5z &=& 7
\end{array}$$ denklem sistemini sağlıyorsa $z$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3^{111}
\qquad\textbf{b)}\ 4^{111}
\qquad\textbf{c)}\ 5^{111}
\qquad\textbf{d)}\ 6^{111}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$3$ bilinmeyen $2$ denklem var. Yani denklem sistemini çözemeyiz. Ama $x, y, z$ tam sayılar olduğu için $z$ hakkında yorum yapabiliriz.
Denklem sisteminde $x$ i yok etmeye çalışalım.
$$ \begin{array}{rcl}
2x - 6y + 4z &=& 2 \\
-2x - y + 5z &=& -7 \\
-7y + 9z &=& -5
\end{array}$$

$y$ yi yok edelim.
$$ \begin{array}{rcl}
x - 3y + 2z &=& 1 \\
6x + 3y - 15z &=& 21 \\
7x - 13z &=& 22
\end{array}$$

Son bulduğumuz değerleri $\bmod 7$ de inceleyelim.
$$ \begin{array}{rcl}
-7y + 9z &=& -5 \\
2z &\equiv& 2 \pmod 7 \Rightarrow z \equiv 1 \pmod 7 \\
7x - 13z &=& 22 \\
z &\equiv& 1 \pmod 7
\end{array}$$
Bu durumda $z$ nin $7$ ile bölümünden kalan $1$ olmalı. $7$ asal sayı, şıklardaki üslerin hepsi $111$ olduğu için Euler'in Phi ($\phi$) Fonksiyonunu, ya da Fermat'ın Küçük Teoremini kullanarak

$$ \begin{array}{rcl}
a^6 &\equiv& 1 \pmod 7 \\
a^{108} &\equiv& 1 \pmod 7 \\
a^{111} &\equiv& a^{3} \pmod 7
\end{array}$$
elde ederiz. Yani $3, 4, 5, 6$ sayılarından küpü $7$ ile bölündüğünde $1$ kalanını veren sayıyı arıyoruz.
$$4^3 \equiv 1 \pmod 7$$
olduğu için aradığımız sayı $4$ tür. Diğer şıklar $\bmod 7$ de $-1$ kalanını verirler.