Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 23  (Okunma sayısı 1741 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 23
« : Nisan 26, 2014, 05:47:56 ös »
Saat kısmı $1$ den $12$ ye kadar olan sayıları gösteren dijital bir saatin, dakika kısmı doğru çalışmakta, ancak saat kısmı bir bozukluk sonucu, saat başlarında $n:59$ dan sonra, ($n+1$ ve $2n$, $\bmod {12}$ düşünülmek üzere), $(n+1):00$ olacağına, $2n:00$ a atlamaktadır. (Örneğin, saat, $7:00$ a ayarlanırsa, bir saat sonra $8:00$ yerine $2:00$ olmaktadır.) Saati gelişi güzel bir zamana ayarlar ve aradan bir gün geçtikten sonra saate bakarsak, saat kısmının $4$ ü gösteriyor olma olasılığı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 23
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 09:00:46 ös »
Saat şu anda $n:30$ olsun. $1$ saat sonra $2n:30$ olacaktır. Buna göre, saat $24$ saat içerisinde
$$\begin{array}{rcl}
t_0 &\equiv& n \pmod {12} \\
t_1 &\equiv& 2n \pmod {12}\\
\vdots \\
t_{24} &\equiv& 2^{24}n \pmod {12}
\end{array}$$
değerlerini alacaktır. $24$ saat sonra $$t_{24} \equiv 2^{24} \equiv 4 \pmod {12}$$ olacaksa $$2^{24}n \equiv 4n \equiv 4\pmod {12} $$ denkliğinden $k$ bir tam sayı olmak üzere; $$4n - 4 = 12k \Rightarrow n-1 = 3k \Rightarrow n =3k+1$$ elde edilir. $[1,12]$ aralığındaki $12$ sayıdan $\{1,4,7,10\}$ sayılarının $3$ ile bölümünden kalan $1$ olduğu için $$P(2^{24}n \equiv 4 \pmod {12}) = \dfrac {4}{12} = \dfrac 13$$ olarak bulunur.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 06:15:32 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal