Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 20  (Okunma sayısı 1795 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 20
« : Nisan 26, 2014, 05:47:11 ös »
$x^4-2^{-y^2}x^2 - \lfloor x^2 \rfloor  + 1 = 0 $ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$
« Son Düzenleme: Nisan 26, 2014, 08:57:54 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 20
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:55:46 ös »
$\{a\}$ ile $a$ pozitif sayısının virgülden sonraki kısmını gösterelim. Buna göre $$\lfloor x^2 \rfloor = x^2 - \{x^2\}$$ olacaktır.
$$\begin{array}{rcl}
x^4-2^{-y^2}x^2 - (x^2 - \{x^2\})  + 1 &=& 0  \\
(x^4 - 2x^2 + 1) + x^2 - 2^{-y^2}x^2 + \{x^2\} &=& 0 \\
(x^2-1)^2 + x^2(1 - \dfrac 1{2^{y^2}}) + \{x^2\} &=& 0
\end{array}$$
Sol taraftaki terimlerin üçü de $\geq 0$ olduğu için, toplamlarının $0$ olması için her birinin $0$ olması lazım. Buna göre
$$ (x^2 -1) = 0 \land (1 - \dfrac 1{2^{y^2}}) = 0 \land \{x^2\} = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \land y = 0 \land x\in \mathbb{Z}$$
olur. Bu durumda $$ (x,y)=(\pm 1,0) $$ ile çözüm kümesinin eleman sayısı $2$ olacaktır.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 06:14:30 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal