Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 18  (Okunma sayısı 1688 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 18
« : Nisan 26, 2014, 05:45:44 ös »
$t_k(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının on tabanına göre yazılımındaki rakamların $k$ inci kuvvetlerinin toplamını gösterelim. Aşağıdaki $k$ değerlerinden hangisi için, $3$ ün $t_k(n)$ yi bölmesi $3$ ün $n$ yi bölmesini gerektirmez?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 18
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:40:29 ös »
$a^3 \equiv a \pmod 3$ olduğunu fark edelim. Daha genel bir şekilde, $k$ negatif olmayan bir tam sayı ise $$a^{2k+1} \equiv a \pmod 3$$ özdeşliği vardır. Buna göre, $$ \begin{array}{lclr}\overline{a_ma_{m-1}\dots a_1a_0} & \equiv & 10^ma_m + \dots + 10a_1 + a_0 & \pmod 3  \\ & \equiv & a_m + a_{m-1} + \dots a_1 + a_0 & \pmod 3  \\ & \equiv & a_{m}^{2k+1}+a_{m-1}^{2k+1}+...+a_{0}^{2k+1} & \pmod 3 \end{array}$$ olacaktır. Yani her $k$ tek sayısı için $3 | t_k(n)$ olduğunda otomatik olarak $3 | n$ olacaktır. Dikkat edilirse, şıklardaki tek çift sayı $6$.
$k=6$ için $$ t_{6}(\overline{221}) = 129 \equiv 0 \pmod 3 $$ iken $$\overline{221} \equiv 2+2+1 \equiv 2 \pmod 3 $$ tür.
« Son Düzenleme: Kasım 28, 2021, 08:59:39 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal