Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 14  (Okunma sayısı 1740 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 14
« : Nisan 26, 2014, 05:44:29 ös »
$72$ tane pozitif böleni olan en küçük pozitif tam sayının on tabanına göre yazılımındaki rakamların karelerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 41
\qquad\textbf{b)}\ 65
\qquad\textbf{c)}\ 110
\qquad\textbf{d)}\ 123
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 14
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:38:37 ös »
Normalde, böyle bir soruda $$72 = 2^3 \cdot 3^2 = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$ olduğu için $$n=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 13860$$ gibi bir sayı seçerek toplamda $72$ pozitif böleni olan sayıyı küçültmeye çalışırız. $13860$ sayısının rakamlarının kareleri toplamı $1^2 + 3^2 + 8^2 +6^2 +0 ^2 =110 $ dur. Ama cevabımız ne yazık ki $110$ değil.
$k=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ olmak üzere $n=11k$ sayısının $72$ pozitif böleni vardır (Az önce gösterdik.).
$n=2^5\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ sayısını ele alalım. $d(n)=6\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 72$ olduğu için ve $n=8k$ sayısı $n=11k$ sayısından daha küçük olduğu için $n=8k=10080$ sayısının rakamlarının kareleri toplamı $1^2 + 8^2 = 65$ tir. $10080 < 13860$ olduğu için $72 = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$ şeklinde bir çarpanlara ayırma $72 = 3\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ şeklinde bir çarpanlara ayırmadan daha küçük bir sonuç verecektir. Ama $72$ pozitif böleni olan en küçük sayı $n=10080$ sayısı mı? Aslında bunu söylemek o kadar da kolay değil. Test mantığıyla soruyu burada bırakmakta fayda var.

Ya, daha küçük bir sayı varsa? Haklısınız. Matematikte tahminlere yer yok.
Aslında bu soruyu 1644'te Mersenne öğrencilerine sormuş:
$D(k)$ ile tam olarak $k$ pozitif böleni olan en küçük sayıyı gösterelim. Önce $60$ pozitif bölene sahip bir sayı bulun. Sonra $D(60)$ ı hesaplayın.
Rahatça görüldüğü üzere bizim sorumuzdan farklı değil. Ne yazık ki, bu soru için deneme yapmaktan başka bir çözüm yok. Bu konu üzerine akademik çalışmalar var. Hangi tip sayılar için $D(k)$ falanca formdadır gibi özel sonuçlar elde edilmiş. Bu konunun biraz daha gelişmişi Highly Composite Number diye geçiyor. Kendisinden küçük sayılardan daha fazla bölene sahip sayılara benim çevirimle bir hayli birleşik sayı diyoruz. $10080$ sayısı bir hayli birleşik bir sayı. Yani kendisinden küçük sayıların pozitif bölenleri sayısı $72$'den küçük. O zaman $72$ pozitif bölene sahip ilk sayı $10080$ dir.
Yine de bu soru için tatmin olacağımız bir çözüm yaparsak daha iyi olur.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 06:12:03 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal