Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 10  (Okunma sayısı 1776 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 10
« : Nisan 26, 2014, 05:39:29 ös »
En büyük ortak bölenleri $n$ olan tüm $a, b, c$ tam sayıları için
$$ \begin{array}{rcl}
x + 2y + 3z &=& a \\
2x + y - 2z &=& b \\
3x + y + 5z &=& c
\end{array}$$
denklem sisteminin $x, y, z$ tam sayılar olmak üzere çözümünün bulunmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 10
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:30:45 ös »
Sistemi sırasıyla $- 1, 1, 1$ ile genişletip taraf tarafa toplayalım.
$$\begin{array}{lcl}  -x -2y -3z &=& -a \\ 2x + y - 2z &=& b \\ 3x + y + 5z &=& c  \end{array}$$
$4x = -a + b + c$ elde ederiz.
Sistemi sırasıyla $1, 4, 1$ ile genişletip taraf tarafa toplarsak $$12x + 7y =  a + 4b + c$$ elde ederiz. $x$ i yerine yazdığımızda $7y=4a+b-2c$ elde edilir.
Bulduğumuz değerleri yerine yazdığımızda $28z = a -5b +3c$ olarak bulunur.

En büyük ortak böleni $n$ olan tüm $a,b,c$ tam sayıları için sistemin sağlanması gerekeceğinden sistemin $a=b=c=n$ için de sağlanması gerekir. Bu durumda $28z=-n$ olduğu için $n$ en az $28$ olmalıdır.
$n=28$ olduğunda sistemin sağlandığı kolayca görülebilir.
« Son Düzenleme: Dün, 10:18:49 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal