Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 08

[geo]

$P(x)$ polinomu her $x$ gerçel sayısı için $2P(x) = P(x+3) + P(x-3)$ koşulunu sağlıyorsa, $P$ nin derecesi en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$$\begin{array}{rcl}
P(x) &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0 \\
P(x+3) &=& a_n(x+3)^n + a_{n-1}(x+3)^{n-1}+\dots + a_1(x+3) + a_0 \\
P(x-3) &=& a_n(x-3)^n + a_{n-1}(x-3)^{n-1}+\dots + a_1(x-3) + a_0
\end{array}$$
olsun. $x^{n-2}$'li terimin katsayısını hesaplayalım.
$$\begin{array}{rcl}
P(x+3) &=& \dots + (a_n \cdot {n \choose 2} \cdot 3^2 +a_{n-1} \cdot {{n-1} \choose 1}\cdot 3 + a_{n-2})x^{n-2} + \dots \\
P(x-3) &=& \dots + (a_n \cdot {n \choose 2} \cdot 3^2 -a_{n-1} \cdot {{n-1} \choose 1}\cdot 3 + a_{n-2})x^{n-2} + \dots \\
P(x+3)+P(x-3) &=& \dots + (2a_n \cdot {n\choose 2} \cdot 3^2\cdot x^{n-2} + 2a_{n-2}\cdot x^{n-2}) + \dots \\
2P(x) &=& \dots + 2a_{n-2}\cdot x^{n-2}+ \dots
\end{array}$$
Burada $$2a_n \cdot {n\choose 2} \cdot 3^2\cdot x^{n-2} = 0$$ sonucu çıkar ki, bu da ancak $(n-2)$. terimin tanımlı olmamasıyla açıklanabilir. Yani $n-2<0 \Rightarrow n \leq 1$ ile açıklanabilir.
$n=1$ durumunda bariz şekilde $P(x) = x$ polinomu eşitliği sağladığı için $P$ nin derecesi en çok $1$ olabilir.

[geo]

Her $n \in \mathbb{N}$ için $P(0), P(3), P(6), \dots, P(3n)$ bir aritmetik dizi oluşturacaktır. Bu durumda, $P(3n) = (P(3) - P(0))n + P(0)$ olacaktır.

$Q(x) = (P(3) - P(0))x + P(0)$ şeklinde lineer (1. dereceden) bir polinom olsun.

$R(x) = Q(x) - P(x)$ olarak tanımlansın. 
Her $n \in \mathbb{N}$ için $R(0)=R(3)=\dots = R(3n) = 0$ olacağından, $R(x)$ polinomunun sonsuz sayıda kökü olacaktır. Bu da $R(x) = 0$ olmasını gerektirir.

O halde $P(x) = Q(x) = ax + b$ şeklindedir.