Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 04  (Okunma sayısı 1786 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 04
« : Nisan 26, 2014, 05:36:40 ös »
$\dfrac{\sin^3 x}{\cos x} + \dfrac{\cos^3 x}{\sin x}  \geq k$ eşitsizliğini her $x\in (0, \tfrac{\pi}{2})$ için sağlayan en büyük $k$ değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 34
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 04
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:27:34 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

$$\begin{array}{lcl} \dfrac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin x \cos x} & = & \dfrac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{\sin x \cos x} \\ & = & \dfrac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 4\sin^2 x \cos^2 x}{2\sin x \cos x} \\ & = & \dfrac {2 - \sin^2 2x}{\sin 2x} \end{array}$$ $\sin 2x$ artarken; kesrin payı azalacak, paydası da artacak. Yani kesir küçülecek. Bu durumda kesir en küçük değerini $\sin 2x = 1$ en büyükken alır. Bu durumda $$ \dfrac {2 - \sin^2 2x}{\sin 2x} \geq \dfrac {2 - 1^2}{1} = 1 = k$$ olacaktır. Eşitlik $2x = \tfrac{\pi}2 \Rightarrow x = \tfrac {\pi}4$ iken sağlanır.
« Son Düzenleme: Kasım 28, 2021, 08:54:43 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal