Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 34  (Okunma sayısı 1920 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 34
« : Nisan 26, 2014, 05:12:43 ös »
$a,b,c,d$ rasyonel sayılar ve $a>0$ olmak üzere, $an^3 + bn^2+cn+d$ sayısı her $n\geq 0$ tam sayısı için bir tam sayı oluyorsa, $a$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 16
\qquad\textbf{d)}\ \text{Böyle bir en küçük değer yoktur.}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 34
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:19:07 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

$n=0$ için, $d$'nin tam sayı olması gerekir.
$n=1$ için, $a+b+c+d$ bir tam sayıdır
$n=2$ için, $8a + 4b + 2c + d$ tam sayıdır.
$n=3$ için, $27a + 9b + 3c + d$ tam sayıdır.
Buna göre $(a+b+c+d)-d = a+b+c$ bir tam sayı,
$(8a+4b+2c+d) - 2(a+b+c) - d = 6a + 2b$ bir tam sayı,
$(27a + 9b + 3c + d) - 3(a+b+c) -d = 24a + 6b$ bir tam sayı,
$4(6a+2b) - (24a + 2b) = 2b$ bir tam sayı,
$(6a+2b) - 2b = 6a$ bir tam sayı çıkar.
Soruda $a>0$ verildiği için $6a>0 \Rightarrow 6a \geq 1 \Rightarrow a \geq \dfrac 16$ elde edilir.  $a =\dfrac{1}6$ değeri için $an^3 + bn^2+cn+d$ ifadesini her zaman tam sayı yapan $b,c,d$ sayıları var mı? Onu araştıracağız. Yani $a \geq \dfrac 16$ olduğunu gösterdik; ama henüz $a=\dfrac 16$ olabileceğini gösteremedik.
$(n-1)(n)(n+1) = n^3 - n $ sayısını ele alalım. Ardışık üç sayıdan en az biri $2$ ile, tam olarak bir tanesi de $3$ ile bölünür. Bu üçünün çarpımı da doğal olarak $6$ ile bölünür. Bu durumda $\dfrac{n^3-n}{6} = \dfrac 16 \cdot n^3 + 0 \cdot n^2 + \dfrac {-1}{6} \cdot n + 0 $ sayısı her $n\geq 0$ için tam sayıdır.

« Son Düzenleme: Haziran 12, 2016, 11:55:34 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal