Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 21

[geo]

$ABC$ dar açılı bir üçgen, $D$ ve $E$ sırasıyla $[AC]$ ve $[AB]$ üzerinde $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{AEC})=90^\circ$ koşulunu sağlayan noktalar; $AED$ üçgeninin çevresi $9$ ve çevrel çemberinin yarıçapı $\frac 95$ olmak üzere, $ABC$ üçgeninin çevresi $15$ ise, $|BC|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{24}{5}
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{48}{5}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$BCDE$ kirişler dörtgeni olduğu için $$\angle ABC = \angle ADE \text{ ve } \angle ACB = \angle AED$$ olacaktır. Bu durumda $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ dir ve benzerlik oranı $\dfrac 9{15}$ tir.
$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \sin \angle A = \dfrac 45$$
Çevrel çemberlerin yarıçapları oranı da benzerlik oranına eşit olacağından, $(ABC)$ nin yarıçapı için $$\dfrac {\dfrac {9}{5}}{R} = \dfrac {9}{15} \Rightarrow R=3 $$ elde edilir. $\triangle ABC$ de Sinüs Teoreminden $$\dfrac {BC}{\sin \angle A} = 2R \Rightarrow R=\dfrac{24}5$$ çıkar.

[geo]

$ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$, diklik merkezi $H$, $BC$ nin orta noktası $M$ olsun.
$AH = 2\cdot OM$ özelliğini kullanarak çözüme gideceğiz.
$AEHD$ kirişler dörtgeni olduğu için $AED$ çevrel çemberi $H$ den geçer. $AH$ bu çemberin bir çapıdır. O halde $AH = 2\cdot \dfrac 95 = \dfrac {18}5$ tir. Bu durumda $OM = \dfrac {AH}{2} = \dfrac {9}{5}$ tir.

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ olduğu için bu üçgenlerin çevrel yarıçaplarının oranları da benzerlik oranına eşit olacaktır. O halde $\dfrac {\frac 95}{OC} = \dfrac {9}{15} \Rightarrow OC = 3$.
$OMC$ dik üçgeni bir $3-4-5$ üçgenidir. O halde $CM = \dfrac {12}5$ ve $BC = 2\cdot CM = \dfrac {24}{5}$ elde edilir.