Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 14  (Okunma sayısı 1685 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 14
« : Nisan 26, 2014, 04:27:59 ös »
$x^4+2x^3+3x^2-x+1 \equiv 0 \pmod {30}$ denkliğinin $0\leq x < 30$ olacak şekilde kaç farklı tam sayı çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 14
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:03:19 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

$30 = 2\cdot 3\cdot 5$ olduğu için $\bmod 2, \bmod 3, \bmod 5$ te denkliği inceleyeceğiz.
$3$ modda da $x \not\equiv 0 $ olduğu aşikar.
$\bmod 2$ için, $x \equiv 1 \pmod 2$.
Fermat'ın küçük teoreminden  $x^2 \equiv 1 \pmod 3$ olacağı için, $$x^2\cdot x^2 + 2x\cdot x^2+3x^2-x+1 \equiv 1 + 2x + 3 - x + 1 \equiv 2 + x \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x \equiv 1 \pmod 3$$ elde edilir.
Yine Fermat'ın küçük teoreminde $x^4 \equiv 1 \pmod 5$ olacağı için, $$x^4 + 2x^3 - 2x^2 - x + 1 \equiv 2x^3-2x^2- x + 2 \equiv 0 \pmod 5$$ denkliğini sağlayan değerleri araştıracağız. Sırasıyla $1$, $2$ ve $4\equiv -1 \pmod 5$ için denkliğin sağlanmadığını görelim. $x \equiv 3 \pmod 5$ için $2\cdot 3^3 - 2\cdot 3^2 - 3 + 2 \equiv 4 + 2 - 3 + 2 \equiv 0 \pmod 5$ elde edilir ki, $x \equiv 3 \pmod 5$ denkliğin tek kökü olur. Son durumda $$x \equiv 1 \pmod 2, x \equiv 1 \pmod 3, x\equiv 3 \pmod 5 $$ denkliklerinin ortak çözümü $x \equiv 13 \pmod {30}$ dur.
$13$ sayısını şöyle buluyoruz. $x+2$ sayısı hem $3$ ile bölümüyor, hem de $5$ ile bölünüyor. Bu durumda $x=13$ ya da $x=28$ olacaktır. $x \equiv 1 \pmod 2$ olduğu için $x = 13$ tür.
Ama soruyu çözerken, $13$ sayısını bulmamız şart değil. Çinlilerin Kalan Teoremine göre $2,3,5$ sayıları ikişerli olarak aralarında asal oldukları için $\bmod {2\cdot 3 \cdot 5}$ yani $\bmod {30}$ da söz konusu denklik sisteminin bir çözümü vardır.
« Son Düzenleme: Haziran 12, 2016, 11:49:45 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal