Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

İlk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $A$ ve ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $B$ ise, $A - B$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5000
\qquad\textbf{b)}\ 4640
\qquad\textbf{c)}\ 3200
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Cevap: $5000$. İk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $$
\dbinom {5}{1} \left ( \dbinom 40 + \dbinom 42 + \dbinom 44 \right) \cdot 5^4=25000, $$
ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $$
\dbinom 41 \left( \dbinom 41 + \dbinom 43 \right) \cdot 5^4=20000
$$ olur. Buna göre cevap $A-B=5000$.

Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009