Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 03

[ERhan ERdoğan]

$6$ elemanlı bir küme hiçbiri boş olmayan üç ayrık alt kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?

$
\textbf{a)}\ 90
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 180
\qquad\textbf{e)}\ 243
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

Kümenin $6$ elemanını $3$ kutuya yerleştireceğiz.
Her eleman için $3$ alternatif olduğu için $3^6$ farklı yolla bu işlem yapılabilir.
Yalnız, yukarıdaki dağıtımda bazı kutular boş kalmış olabilir. İçerme-Dışarma İlkesine göre
($0$,$1$ veya $2$ kutunun boş olduğu durumlar) - ($1$ veya $2$ kutunun boş olduğu durumlar) + ($2$ kutunun boş olduğu durumlar)
($0$,$1$ veya $2$ kutunun boş olduğu durumlar): $3^6$
($1$ veya $2$ kutunun boş olduğu durumlar): $\binom{3}{1} 2^6 $ (Boş olacak bir kutu seçiliyor, diğerleri akışına bırakılıyor.)
($2$ kutunun boş olduğu durumlar): $\binom{3}{2}1^6$ (Boş olacak iki kutu seçiliyor, diğerleri boş olmayan kutuya koyuluyor.)
Bu durumda $3^6 - 3\cdot 2^6 + 3 = 729 - 192 + 3 = 540$ farklı yolla bu işlem yapılabilir. Yalnız, mesela tüm $6$ eleman da $1.$, $2.$ ve $3.$ kutularda birer kez yer aldı. $540$'ın içinde kutuların sıralınışı da var. Bu durumda $\dfrac{540}{3!} = 90$ farklı yolla, kutuların sıralanışı önemsenmeksizin elemanları $3$ kutuya yerleştirebiliriz.

[geo]

Kümelerin eleman sayıları $1-1-4$, $1-2-3$ ve $2-2-2$ olabilir. $\dfrac{\binom{6}{1}\binom{5}{1}\binom{4}{4}}{2!} + \binom{6}{1} \binom{5}{2}\binom{3}{3} + \dfrac{\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{3!} = 15 + 60 +15 = 90$.