Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x(x+4)(x+8)(x+12)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -240
\qquad\textbf{b)}\ -252
\qquad\textbf{c)}\ -256
\qquad\textbf{d)}\ -260
\qquad\textbf{e)}\ -280
$

[Lokman Gökçe]

$x(x+12)=x^2+12x=a$ diyelim. $(x+4)(x+8)=x^2+12x+32=a+32$ olur. Dolayısıyla $x(x+4)(x+8)(x+12)=a(a+32)$ olduğundan biz $f(a)=a^2+32a$ ifadesinin minimum değerini bulmalıyız. Bu min değeri, isterseniz parabol fonksiyonun tepe noktası formülünden $a=-16$ yazarak $f_{min}=f(-16)=(-16)(-16+32)=-256$ şeklinde hesaplayabilirsiniz, isterseniz de tam kareye tamamlayarak $a^2+32a= (a^2 + 32a + 16^2) - 16^2 = (a+16)^2 - 256$ biçiminde yazıp $(a+16)^2 \geq 0$ aşikar eşitsizliğini kullanarak $f_{min} = -256$ elde edebilirsiniz.

UYARI: Elbette, bu min değeri elde edebilmek için $x^2+12x = -16$ denkleminin reel çözümünün var olduğunu görmek gerekir.