Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$1 \leq n \leq 2010$ koşulunu sağlayan kaç tane $n$ tam sayısı için $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+ \cdots +(2n-1)^{2}-(2n)^{2}$ sayısı $2010$ ile bölünür?


$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

$T=1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+ \cdots +(2n-1)^{2}-(2n)^{2}$ diyelim.

$2010\mid T$  ise  $2010 \mid -T$ dir.

İki kare farkı özdeşliğini kullanarak $-T$  ifadesini $3+7+11+\cdots+(4n-1)$ şeklinde yazabiliriz. Bu toplam $n(2n+1)$ dir.

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$ olduğundan,

$n(2n+1) \equiv 0\pmod{2} \Rightarrow n\equiv 0 \pmod{2}$

$n(2n+1) \equiv 0\pmod{3} \Rightarrow n\equiv 0 \pmod{3} , n \equiv 1 \pmod{3}$

$n(2n+1) \equiv 0\pmod{5} \Rightarrow n\equiv 0 \pmod{5} , n \equiv 2 \pmod{5}$

$n(2n+1) \equiv 0\pmod{67} \Rightarrow n\equiv 0 \pmod{67} , n \equiv 33 \pmod{67}$

olup çin kalan teoremine göre $1\cdot2\cdot2\cdot2=8$ çözüm vardır.