Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 10  (Okunma sayısı 2141 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 10
« : Eylül 06, 2013, 10:40:48 ös »
$0\leqslant n< 840$ koşulunu sağlayan kaç tam sayı için, $n^{8}-n^{4}+n-1$ sayısı $840$ ile bölünür?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 01:42:06 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Legendary

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 34
  • Karma: +0/-0
  • Hata yapmaktan korkmak, ilerlemenin ölümüdür.
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 10
« Yanıtla #1 : Eylül 07, 2013, 02:29:27 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

$n^8-n^4+n-1=(n-1)(n^4(n^2+1)(n+1)+1)$

$840=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ sırayla $\bmod 8$, $\bmod 3$, $\bmod 5$, $\bmod 7$ de inceleyelim:

Eşitliğin sağ tarafı tek olduğu için $n\equiv 1 \pmod 8$ olmalıdır.

Eşitliğin sağ tarafını $\bmod 3$ ve $\bmod 5$ de incelersek de aynı şekilde $n\equiv 1 \pmod 3$ ve $n\equiv 1 \pmod 5$ olması gerektiği görülür.

Fakat $\bmod 7$ de incelendiğinde $n \equiv 3 \pmod 7$ veya $n\equiv 1 \pmod 7$ olur.

O halde $n\equiv 1(\mod 840)$ veya $n\equiv 241(\mod 840)$ olur. $n$'in iki değeri bulunur.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:21:28 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal