Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

$0\leqslant n< 840$ koşulunu sağlayan kaç tam sayı için, $n^{8}-n^{4}+n-1$ sayısı $840$ ile bölünür?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Legendary]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n^8-n^4+n-1=(n-1)(n^4(n^2+1)(n+1)+1)$

$840=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ sırayla $\bmod 8$, $\bmod 3$, $\bmod 5$, $\bmod 7$ de inceleyelim:

Eşitliğin sağ tarafı tek olduğu için $n\equiv 1 \pmod 8$ olmalıdır.

Eşitliğin sağ tarafını $\bmod 3$ ve $\bmod 5$ de incelersek de aynı şekilde $n\equiv 1 \pmod 3$ ve $n\equiv 1 \pmod 5$ olması gerektiği görülür.

Fakat $\bmod 7$ de incelendiğinde $n \equiv 3 \pmod 7$ veya $n\equiv 1 \pmod 7$ olur.

O halde $n\equiv 1(\mod 840)$ veya $n\equiv 241(\mod 840)$ olur. $n$'in iki değeri bulunur.