Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 04  (Okunma sayısı 2704 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 04
« : Eylül 05, 2013, 04:54:01 ös »
$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin tüm $a$ elemanları için $f(f(a))=a$ koşulunu sağlayan kaç $f:A\to A$ fonksiyonu vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 106
\qquad\textbf{c)}\ 127
\qquad\textbf{d)}\ 232
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Nisan 26, 2014, 11:57:29 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 04
« Yanıtla #1 : Nisan 27, 2014, 12:16:08 öö »
$f$ nin sabit nokta sayısı $1$, $3$, $5$ ya da $7$ dir. (Sabit nokta, $f(x)=x$ eşitliğini sağlayan nokta)

$1$ sabit nokta için, bu sabit nokta ${7 \choose 1}$ şekilde seçilir.
Kalan $6$ noktadan biri ($a$) seçildiğinde $f(a)=b$, $f(b)=a$ şeklinde ikinci sayı için $5$ seçenek vardır.
Benzer şekilde kalan $4$ noktadan biri seçildiğinde bu noktanın görüntüsü için $3$ seçenek var.
Kalan $2$ noktadan biri seçildiğinde bu noktanın görüntüsü için $1$ seçenek var.
O halde tam olarak $1$ sabit nokta için ${7 \choose 1} \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1$ seçenek var.

$3$ sabit nokta için, ${7 \choose 3} \cdot 3 \cdot 1$ seçenek var.
$5$ sabit nokta için, ${7 \choose 5} \cdot 1$ seçenek var.
$7$ sabit nokta için, ${7 \choose 7}$ seçenek var.

Hepsinin toplamı $105 + 105 + 21 + 1 = 232$ yapar.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:50:21 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı akiftahiroğlu

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 04
« Yanıtla #2 : Haziran 06, 2015, 08:41:16 ös »
Doğrusal olmayan bir indirgemeli dizi yardımıyla çözüme ulaşabiliyoruz.
${1, 2, 3, ... , n}$ kümesinde uygun tanımlanan $a_{n}$ farklı fonksiyon olsun.
Eğer fonksiyonda $f(n)=n$ ise geriye kalan elemanlar arasında $a_{n-1}$ durum gelir.
$f(n)=k$ olsun.$ k={1, 2, ...,n-1}$ olmak üzere, $n-1$ farklı şekilde $k$ seçeriz.
Geriye kalan $n$ ve $k$ haricinde $n-2$ eleman için ise $a_{n-2}$ şekilde fonksiyon yazılır. $a_{1}=1$ ve $a_{2}=2$ bariz.
$a_{n}= a_{n-1} + (n-1) a_{n-2}$  Buradan   $n= {3,4, ...,7}$ için;
$$a_{3}= a_{2} + 2a_{1} \Rightarrow a_{3}=4$$
$$a_{4}= a_{3} + 3a_{2} \Rightarrow   4 + 3.2 = a_{4} =10$$
$$a_{5}= a_{4} + 4a_{3} \Rightarrow  10 + 4.4= a_{5} =26$$
$$a_{6}= a_{5} + 5a_{4} \Rightarrow  26 + 5.10 = a_{6} =76$$
$$a_{7}= a_{6} + 6a_{5} \Rightarrow  76 + 6.26 = a_{7} =232$$  bulunur.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:32:59 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal