Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

$0\leqslant x,y,z\lt2011$ olmak üzere, $xy+yz+zx\equiv 0\pmod{2011}$ ve $x+y+z\equiv0\pmod{2011}$ koşullarını sağlayan kaç $\left(x,y,z\right)$ tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 2010
\qquad\textbf{b)}\ 2011
\qquad\textbf{c)}\ 2012
\qquad\textbf{d)}\ 4021
\qquad\textbf{e)}\ 4023
$

[mustafaemir]

Yanıt : $\boxed{D}$.

$x=0$ olsun, $yz\equiv 0\pmod{2011}$ ve $y+z\equiv 0\pmod{2011}$ olduğundan $y=z=0$ olur. Bu durumda tek çözüm $(0,0,0)$olur.
$1\le x\le 2010$ olsun. $x+y+z\equiv 0\pmod{2011}$ olduğundan $y+z\equiv -x\pmod{2011}$ olur. $x(y+z)+yz\equiv 0\pmod{2011}\Longrightarrow -x^2+yz\equiv 0\pmod{2011}\Longrightarrow yz\equiv x^2\pmod{2011}$.
$z\equiv \dfrac{x^2}{y}\pmod{2011}$ olur.
$y+z\equiv -x\pmod{2011}\Longrightarrow y+\dfrac{x^2}{y}\equiv -x\pmod{2011}\Longrightarrow x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod{2011}\Longrightarrow (2y+x)^2\equiv-3x^2\pmod{2011}$.
$-3$ $\pmod{2011}$ de kare kalan olduğu için $-3x^2$ de kare kalandır.
Öyleyse $2y+x$ $\pmod{2011}$ de $2$ değer alabilir $\Longrightarrow$ $y$ $2$ değer alabilir.
$x$ in alabileceği $2010$ değerden herbiri için $y$ 2 değer alabilir. Öyleyse bu durumda $2010\cdot 2=4020$ tane $(x,y,z)$ üçlüsü vardır.

Toplam $4020+1=4021$ tane $(x,y,z)$ üçlüsü vardır.

[Lokman Gökçe]

$-3$ sayısının modülo $2011$ de neden kare kalan olduğu da gösterilmelidir. Çözümün bu önemli adımı eksiktir.