Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 11

[ERhan ERdoğan]

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-7x^{2}-7x-2$ polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ -2
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$P(x)=x^5 + x^4 - 4x^3 - 7x^2 - 7x - 2$ ve $Q(x)=(x-1)P(x)$ olsun. $$\begin{array}{rcl}
Q(x) &=& (x^6 + x^5 - 4x^4 - 7x^3 - 7x^2 - 2x)-(x^5 + x^4 - 4x^3 - 7x^2 - 7x - 2) \\
&=& x^6-5x^4-3x^3+5x+2 \\
&=& x^6-3x^3+ 2 - 5x(x^3-1)\\
&=& (x^3-2)(x^3-1) - 5x(x^3-1)\\
&=& (x^3-1)(x^3-5x-2) \\
&=& (x-1)(x^2+x+1)(x^3-5x-2) \\
P(x) &=& (x^2+x+1)(x^3-5x-2)
\end{array}$$
$R(x) = x^3 - 5x - 2$ polinomunun türevinin $R'(x) = 3x^2-5=0$ iki gerçel kökü olduğu için, $R(x)$ in üç kökü de gerçeldir. Bu durumda, $P(x)$ in gerçel kökleri ile $R(x)$ in gerçel kökleri aynıdır. O halde, gerçel kökler toplamı $R(x)$ te $x^2$ li terimin katsayısı $0$ olduğu için $0$ dır.