Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 15  (Okunma sayısı 2051 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 15
« : Eylül 05, 2013, 01:21:06 ös »
Aşağıdaki $\left(a,b\right)$ ikililerinden hangisi için, $x+2y\lt a$ ve $xy\gt b$ eşitsizliklerini sağlayan hiçbir $\left(x,y\right)$ pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur?

$
\textbf{a)}\ \left ( \dfrac{15}{7},\dfrac{4}{7} \right )
\qquad\textbf{b)}\ \left ( \dfrac{18}{11},\dfrac{1}{3} \right )
\qquad\textbf{c)}\ \left ( \dfrac{5}{7},\dfrac{1}{16} \right )
\qquad\textbf{d)}\ \left ( \dfrac{6}{7},\dfrac{1}{11} \right )
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 01:33:26 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 15
« Yanıtla #1 : Haziran 01, 2014, 03:24:59 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

$x+2y = a \Rightarrow y = -\dfrac x2 + \dfrac a2$

$xy = b \Rightarrow y = \dfrac bx$ eğrisine teğet olan $-\dfrac 12$ eğimli doğru $y=-\dfrac x2 + n$ olsun. Ortak çözümde $\Delta = 0$ olmalı.
$$-\dfrac x2 + n = \dfrac bx \Rightarrow x^2 -2nx + 2b \Rightarrow \Delta = 4n^2 - 8b = 0 \Rightarrow n = \sqrt {2b}$$

$y = -\dfrac x2 + \dfrac a2$ ile $y = -\dfrac x2 + \sqrt{2b}$ doğrusu birbirine paraleldir. $\dfrac a2 > \sqrt {2b}$ olduğu sürece eşitsizlik sisteminin çözümü vardır.

Biraz düzenlersek $a^2 > 8b$ olan şıklarda çözüm vardır.
Bu aşamadan sonra her şıkkı denemek zorundayız. Ne yazık ki tüm şıklar da $a^2$ ile $8b$ sayısı birbirlerine çok yakın. Yine de gerekli işlemleri yaptığımızda tüm şıklar için $a^2 > 8b$ eşitsizliğinin sağlandığını görürüz.

« Son Düzenleme: Haziran 01, 2014, 04:12:58 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal