Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 31  (Okunma sayısı 2178 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 31
« : Eylül 04, 2013, 03:25:24 öö »
$i^{2}+j^{2}+k^{2}=2011$ koşulunu sağlayan $i,j,k$ tam sayıları için, $i+j+k$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 71
\qquad\textbf{b)}\ 73
\qquad\textbf{c)}\ 74
\qquad\textbf{d)}\ 76
\qquad\textbf{e)}\ 77
$
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 01:37:03 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 31
« Yanıtla #1 : Haziran 02, 2014, 01:23:53 öö »
Yanıt: $\boxed{E}$

Karesel-Aritmetik Ortalama Eşitsizliği uygulanırsa, $\sqrt{\dfrac{i^2+j^2+k^2}{3}}\geq\dfrac{i+j+k}{3} \Longrightarrow 6033\geq (i+j+k)^2 \Longrightarrow 77\geq i+j+k$ elde edilir. ($i,j,k$ tamsayı olduğundan)
Öte yandan, $i^2+j^2+k^2=2011\equiv 3 \pmod 4$ şartının sağlanması için, $i$, $j$, $k$ sayılarının hepsi tek olmalıdır. (Bkz. Kare Kalanlar)
$i$, $j$, $k$ sayıları eşit olduğunda $i+j+k$ toplamının $77$'ye çok yakın olacağını biliyoruz. $77$'ye eşit olması için de birbirlerine oldukça yakın olmalıdırlar. $\dfrac{77}{3}=25,\bar3$ olduğundan $25$'e yakın tüm tek sayıların karelerini inceleyelim.
$21^2=441$
$23^2=529$
$25^2=625$
$27^2=729$
$29^2=829$
$i+j+k=77$ olabiliyorsa, $(21,27,29), (23,25,29)$ üçlülerinden biri bunu sağlayabilir. Denenirse, $21^2+27^2+29^2=2011$'dir.
O halde $i+j+k$ toplamı en fazla $77$ olabilir. Sağlayan $(i,j,k)$ üçlüsü $(21,27,29)$'dur.
« Son Düzenleme: Ekim 06, 2017, 05:54:28 ös Gönderen: scarface »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal