Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 32  (Okunma sayısı 2436 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 32
« : Eylül 04, 2013, 03:22:51 öö »
Başlangıçta bir öbekte $n$ taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir $i\geqslant 0$ tam sayısı için öbekteki taşlardan $2^{i}$ tanesinin alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n=1000,2000,2011,3000,4000$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir ?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 32
« Yanıtla #1 : Mart 01, 2014, 03:32:41 ös »
(Barış DEMİR)

$n=3k$ için oyunu daima ikinci oyuncu kazanır.

$i\geq0$ için birinci oyuncu $2^i$ taş alsın, geriye $3k-2^i$ taş kalır.

$3k-2^i \equiv 1\pmod 3$ veya $3k-2^i \equiv 2\pmod 3$ 

Eğer, $3k-2^i \equiv 1\pmod 3$ ise, ikinci oyuncu $2^k \equiv 1\pmod 3$ olacak biçimde taş alarak birinci oyuncuya $3k-2^i -2^k \equiv 0\pmod 3$
olacak şekilde taş bırakır.Yani tekrar 3 ün katı olan bir taş miktarı kalır.

Eğer,  $3k-2^i \equiv 2\pmod 3$ ise, 2.oyuncu $2^k \equiv 2\pmod 3$ olacak biçimde taş alarak birinci oyuncuya $3k-2^i -2^k \equiv 0\pmod 3$
olacak şekilde taş bırakır.Yani tekrar 3 ün katı olan bir taş miktarı kalır.

birinci oyuncu ne yaparsa yapsın ikinci oyuncu mutlaka ona 3 ün katı olacak biçimde taş bırakacaktır. 1.oyuncu en iyi ihtimalle bu durumu 3 taşa kadar sürdürecektir.3 taş kalınca da ya $2^0$ alacak ve ikinci oyuncu $2^1$ alarak kazanacak ya da tam tersi $2^1$ alacak ve ikinci oyuncu $2^0$ alarak kazanacaktır.

$n=3k+1$ ve $n=3k+2$ için de oyunu daima birinci oyuncu $n=3k$ da ikinci oyuncunun uyguladığı taktiği uygulayarak kazanır.

O halde verilen sayılardan $1000, 2000, 2011, 4000$ için oyunu birinci oyunu kazanır.   
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:12:57 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal