Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 36  (Okunma sayısı 2398 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 36
« : Eylül 03, 2013, 03:43:32 öö »
Her kutuda en çok $20$ taş olmak koşuluyla $k$ tane taş $2012$ kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az $100$ tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, $k$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 500
\qquad\textbf{b)}\ 450
\qquad\textbf{c)}\ 420
\qquad\textbf{d)}\ 349
\qquad\textbf{e)}\ 296
$
« Son Düzenleme: Ocak 21, 2018, 06:11:07 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 36
« Yanıtla #1 : Mayıs 31, 2014, 09:35:04 ös »
Yanıt: $\boxed{D}$

Kaba kuvvet (brute-force) gerektiren bir çözüm yapacağız.

Seçtiğimiz kutuların sayısı $n$, atılan taşlardan sonra her birinde kalan taş sayısı $m$ olsun.
$m\leq 20$ ve $n \cdot m \geq 100$ dir.
$$\begin{array}{lclclcl}
m=20 & \Rightarrow & n \geq 5 &,& m=19,18,17 & \Rightarrow & n \geq 6 \\
m=16,15 & \Rightarrow & n \geq 7 &,& m=14,13 & \Rightarrow & n \geq 8 \\
m=12 & \Rightarrow & n \geq 9 &,& m=11,10 & \Rightarrow & n \geq 10 \\
m=9 & \Rightarrow & n \geq 12 &,& m=8 & \Rightarrow & n \geq 13 \\
m=7 & \Rightarrow & n \geq 15 &,& m=6 & \Rightarrow & n \geq 17 \\
m=5 & \Rightarrow & n \geq 20 &,& m=4 & \Rightarrow & n \geq 25 \\
m=3 & \Rightarrow & n \geq 34 &,& m=2 & \Rightarrow & n \geq 50 \\
m=1 & \Rightarrow & n \geq 100
\end{array}$$ olmalı.
Şimdi kutulara mükün olduğunca, sorudaki koşul sağlanmayacak şekilde taş dolduralım:
İlk $5$ kutuya $20$ şer tane doldurursak, taş sayısı $\geq 100$ olacak ve $(m,n)$ ikilisi bulunmuş olacak.
Onun için ilk $4$ kutuya $20$, $5.$ kutuya $19$ taş koyuyoruz. $20+20+20+20+19 = 99$.
$6.$ kutuya $19$ ya da $18$ ya da $17$ taş koyarsak $m\geq 17$ ve $n=6$ ikilisi bulunmuş olacak. $20+20+20+20+19+16=115$.
Bu şekilde devam ettirelim:
$20+20+20+20+19+16+14+12+11+9$ olduğunda $11.$ kutuya tekrar $9$ taş koyabiliriz. Çünkü $m=9$ için $n\geq 12$ olmalı.
Devamında $12.$ kutuya $8$, $13.$ ve $14.$ kutulara $7$ taş koyabiliriz.
$m=7$ iken $n\geq 15$ ve $m=6$ iken $n\geq 17$ olduğu için sıradaki iki kutuya $6$ taş koyuyoruz.
$20+20+20+20+19+16+14+12+11+9+9+8+7+7+6+6 = 204$

Benzer şekilde devam edildiğinde,
$204+\underbrace{5+5+5}_{3} + \underbrace{4+\cdots+4}_{5} + \underbrace{3+\cdots+3}_{9} + \underbrace{2+\cdots+2}_{16} + \underbrace{1+\cdots+1}_{50} = 348$

İlk $99$ kutuya mümkün olan en çok taşı dağıttık. $k=348$ olan durumda, yukarıdaki gibi bir dağıtım yapıldığında soruda istenen koşul sağlanmaz.
Diğer taraftan, bundan sonraki $1$ taşı hangi kutuya koyarsak koyalım, istenen şekilde $(m,n)$ sayıları bulunmuş olacak.
« Son Düzenleme: Haziran 01, 2014, 12:19:55 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal