Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

$\left | AB \right |=2\left | BC \right |$ olan $ABCDA'B'C'D'$ dikdörtgenler prizmasında $\left[BB' \right]$ ayrıtı üstündeki $E$ noktası $\left | EB' \right |=6\left | EB \right |$ koşulunu sağlıyor. $AEC$ ve $A'EC'$ üçgenlerinde $E$ ye ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $F$ ve $F'$ olmak üzere, $m\left ( \widehat{FEF'} \right )=60^{\circ}$ ise, $\dfrac{\left | BC \right |}{\left | BE \right |}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{5}{3}}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{15}{2}}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}\sqrt{15}
\qquad\textbf{d)}\ 5\sqrt{\dfrac{5}{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$AE^2 = AB^2 + BE^2$ ve $EC^2 = BE^2 + BC^2$ olduğu için $AE^2 - EC^2 = AB^2 - BC^2 = AF^2-FC^2$ olacaktır. Bu durumda, $BF \perp AC$.
Benzer şekilde, $A'E^2 = A'B'^2 + B'E^2$ ve $C'E^2 = B'C'^2 + B'E^2$ olduğu için $A'E^2 - C'E^2 = A'B'^2 - B'C'^2 = A'F'^2 - C'F'^2$ olacaktır. Bu durumda, $B'F' \perp A'C'$.

$BB'F'F$ bir dikdörtgen oldu. $BE=1$ ve $BF=a$ diyelim.

$\tan \angle FEB = \dfrac{a}{1} = a$ ve $\tan \angle F'EB' = \dfrac{a}{6}$, $\angle FEB + \angle F'EB' = 120^\circ$ olduğu için $$\tan 120^\circ = -\sqrt 3 = \dfrac{\tan \angle FEB + \tan \angle F'EB'}{1 - \tan \left ( \angle FEB \cdot \tan \angle F'EB' \right )} = \dfrac{a+\dfrac a6}{1-\dfrac {a^2}6}$$ $$\Rightarrow \dfrac {7a}{a^2 - 6} = \sqrt 3 \Rightarrow a = 3\sqrt 3.$$
$ABC$ dik üçgeninde $AB/BC=2$ olduğu için $BC/EB = \dfrac 1{2\sqrt 5}$ tir. Bu durumda, $BC=\dfrac {a}{2\sqrt 5} =  \dfrac 32 \sqrt {15}$