$n\geq 2012$ olmak üzere, $1\cdot 2^{1}+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+\cdots+n\cdot 2^{n}$ sayısının $10$ ile bölünmesini sağlayan en küçük $n$ tam sayısı nedir?
$
\textbf{a)}\ 2012
\qquad\textbf{b)}\ 2013
\qquad\textbf{c)}\ 2014
\qquad\textbf{d)}\ 2015
\qquad\textbf{e)}\ 2016
$