Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 10  (Okunma sayısı 2279 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 10
« : Eylül 02, 2013, 07:34:37 ös »
$n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal olan tam olarak $20$ tane pozitif tam sayı bulunmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$



« Son Düzenleme: Eylül 02, 2013, 08:25:35 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 10
« Yanıtla #1 : Nisan 07, 2014, 11:59:49 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

$n$ çift olsun.
$n=2^{a}p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k} \Rightarrow \varphi(n) = 2^{a-1}p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 2^2\cdot5$.

$a>2$ olamaz; çünkü tüm $(p_i - 1)$ler çift olmalı. Bu durumda $a = 1$ veya $a=2$ .

$a = 2$ için, $p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 10$.
$4\nmid 10$ olduğu için tek asal çarpanların sayısı $1$ olmalı. Bu durumda $p_1 = 11$ ve $\boxed{n=2^2\cdot 11 = 44}$.

$a = 1$ için, $p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 20$.
$8 \nmid 20$ olduğu için tek asal çarpanların sayısı $1$ ya da $2$ olmalı.

Tek asal çarpanların sayısı $1$ olduğunda, $p_1^{a_1-1}(p_1-1) = 10 \Rightarrow \boxed{n=2\cdot 5^2 = 50}$

Tek asal çarpanların sayısı $2$ olduğunda, $p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}(p_1 - 1)(p_2 - 1) = 20$.

En küçük iki tek asal sayı $3$ ile $5$ olduğu için, $k\geq 2$ olmak üzere; $(p_1 - 1)(p_2 - 1) = 4k \Rightarrow p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}k = 5 \Rightarrow k=5, a_1=a_2=1$.

$(p_1-1)(p_2-1)=20 \Rightarrow \boxed{n=2\cdot 3 \cdot 11 = 66}$.

$n$ tek olsun.

$p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 20$ olacak. Bu durumun aynısını az önce $a=1$ iken elde etmiştik. Tek fark, $2^a = 2^1$ diye fazladan bir çarpanları olmaması.
Buradan gelecek cevaplar, $\boxed{n=3\cdot 11 = 33}$ veya $\boxed{n=5^2=25}$.

Toplamda $\boxed{5}$ pozitif tam sayı sağlıyor. O halde doğru yanıt $\boxed{E}$ şıkkı.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:49:18 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal