Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 33

[alpercay]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üstünde $|BD|=4$ ve $|DC|=3$ olacak biçimde yer alan $D$ noktası için, $|AD|$ iç açıortaydır. $[AB]$ kenarı üstünde yer alan ve $m(\widehat{BED})=m(\widehat{DEC}) $ koşulunu sağlayan $A$ dan farklı bir $E$ noktası için, $[AE]$ doğru parçasının orta dikmesi ile $BC$ doğrusu $M$ noktasında kesişiyorsa, $|CM|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\dfrac{XB}{XC}=\dfrac{4}{3}$ noktalarının geometrik yeri, $\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{4}{3}$ olduğu için $D,E,A$ noktalarından geçen çemberdir (Apolonyus çemberi). $AE$ nin orta dikmesi, $BC$ yi bu çemberin merkezinde kesecektir. Bu geometrik yeri fark etmek, zaten soruyu çözmek demek.

Yine de Apolonyus'a çok takılmadan bir çözüm yapalım.

$\angle BEC$ nin dış açıortayı ile $BC$ doğrusu $G$ de kesişsin. Dış açıortay teoreminden
\[\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{CG}{BC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{CG}{7+CG}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow CG=21\]
$\angle BAC$ nin dış açıortayı ile $BC$ doğrusu $H$ de kesişsin. Dış açıortay teoreminden
\[\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CH}{BH}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{CH}{7+CH}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow CH=21\]
olacağı için $G=H$ dir.

İç açıortay ile dış açıortay arasında kalan açı ${90}^{\circ \ }$olacağı için, $\angle DEG=\angle DAG={90}^{\circ }$.

Bu durumda, $DG$ çaplı çember $E$ ve $A$ noktasından geçer. $AE$ nin orta dikmesi, $BC$ yi çemberin merkezinde keser. Yani $DM=MG$.
\[CG=21\Rightarrow DG=24\Rightarrow DM=12\Rightarrow MC=9\]

[ERhan ERdoğan]

$AEC$ üçgeninde $D$ noktası dış çember merkezi olduğundan $CD , ECG$ açısının açıortayı olur. $AEM$ üçgeninin simetri ekseni $MI$ çizilirse $IM , CIK$ açısının açıortayı olur. Buna göre $M$'de $ECI$ üçgeninin dış çember merkezidir ve dolayısıyla $EM, CEI$ nın açıortayı olur.

 
Bu aşamadan sonra bulunanlar ile farklı yollardan çözüme ulaşabiliriz. $|CM|=x$ diyelim
 
$1.$ Açılar incelendiğinde görülüyor ki $\angle{EBC}=\angle{CEM}$ dir. Yani $ECM$ üçgeni ile $BEM$ üçgeni benzerdir. Bu üçgenlerin benzerlik oranı $\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{3}{4}$ dür.Bu oranı uygulayarak $x=9$ bulunabilir.
veya $|ME|=|MD|$ olduğu görülürse, $|ME|=x+3$ yazıp $EBM$ üçgeninde  $(x+3)^2=x \cdot(x+7)$ denkleminden $x=9$ bulunur.

$2.$ Açılar incelendiğinde $\angle{CEM}=\angle{CAM}$ olduğundan $A,E,C,M$ çemberseldir.$B$ noktasının bu çembere göre kuvvetini yazarsak
 
$7.(7+x)=|BE| \cdot |BA|$ dır.

$EBC$ üçgenin de $|BE|=4a , |CE|=3a$ ve $ABC$ üçgenin de $|AB|=4b , |AC|=3b$ alıp dış açıortay teoremi uygularsak

$7^2=4a\cdot4b-3a\cdot3b=7\cdot a \cdot b  \Rightarrow a \cdot b=7 $ ve $|BE|\cdot |BA|=16ab = 16\cdot7$

O halde, $7 \cdot(7+x)=16 \cdot7  \Rightarrow x=9$