Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 20

[alpercay]

Ağırlıkları $1, 2,..., 2013$ gram olan $2013$ taşın her birinin üstüne $1, 2,..., 2013$ sayılarından biri, her sayı tam olarak bir kez kulanılarak yazılıyor. Sayılar nasıl yazılırsa yazılsın, tüm taşların üstünde kendi ağırlıklarının yazılıp yazılmadığı, sol kefesindeki ağırlıktan sağ kefesindeki ağırlığın çıkarılmasının sonucunu gösteren iki kefeli bir tartı $k$ kez kullanılarak kontrol edilebiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 15
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{\text{D}}$

Taşlara $2187-2013 = 174$ tane sıfır ağırlıklı taş ekleyerek taş sayısını $3^7 = 2187$ olarak alalım. Taşları her biri $729$ taştan oluşan en hafif, orta ve en ağır gruba bölelim, hafif grubu sol kefeye, ağır grubu sağ kefeye yerleştirelim. Tartı yanlış bir ağırlık olduğunu kanıtlamıyorsa, bu üç grubu aynı kuralla üçer gruba ayıralım ve en hafif üç grubu sol kefeye, en ağır üç grubu ise sağ kefeye yerleştirelim. Tartı yanlış bir ağırlık olduğunu kanıtlamıyorsa, benzer şekilde devam edelim. Yedinci tartı sonucunda $2187$ tane birer elemanlı grup elde edeceğiz. Şimdi $7$ den daha az tartıyla yapılamayacağını gösterelim. Her tartı için üç grup tanımlanıyor. Bu grupların birinde ilk tartı sonucunda bir grupta en az $2013/3 = 671$, ikinci tartı sonucunda en az $224$, üçüncü tartı sonucunda en az $75$, dördüncü tartı sonucunda en az $25$, beşinci tartı sonucunda en az $9$, altıncı tartı sonucunda en az $3$ eleman olacak. Bu $3$ taşın üstüne yazılmış sayıların doğru olup olmadığı kontrol edilmemiş olacaktır.

Kaynak: Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri